设 $f(x)\in C([0,1])$, 在 $(0,1)$ 上可导, 且 $|f'(x)|\leqslant 1$, $\forall\ x\in(0,1)$. 又设 $f(0)=f(1)=0$, 证明: $|f(x_1)-f(x_2)|\leqslant\frac{1}{2}$, $\forall\ x_1,x_2\in[0,1]$.
设 $f(x)$ 是定义在 $[0,1]$ 上的连续函数, 在 $(0,1)$ 上可导, 且导数的绝对值不超过 1. 又假设 $f(0)=f(1)=0$, 证明: 对任意 $x_1,x_2\in[0,1]$, 都有 $|f(x_1)-f(x_2)|\leqslant\frac{1}{2}$.